Асимптотический анализ сложности аппроксимации в среднем случайных элементов в гильбертовых пространствах

В докладе будут обсуждаться аппроксимационные свойства последовательностей центрированных случайных элементов $X_d$, $d\in \mathbb N$, со значениями в некоторых сепарабельных гильбертовых пространствах. Основное внимание будет сосредоточено на случайных элементах тензорного типа, чьи корреляционные операторы представляются тензорными произведениями. О таких объектах можно думать как о случайных процессах с $d$-мерным параметром. Классическим примером служит броуновский лист — тензорная степень винеровского процесса. Сложность аппроксимации в среднем $n^{X_d}(\varepsilon)$ элемента $X_d$ определяется как минимальное количество непрерывных линейных функционалов необходимых для аппроксимации $X_d$ со среднеквадратической относительной ошибкой не превышающей заданного порога $\varepsilon\in(0,1)$. Мы рассмотрим поведение величины $n^{X_d}(\varepsilon)$ при произвольном $\varepsilon\in(0,1)$ и $d\to\infty$. Будет показано, что при достаточно слабых условиях логарифмическая асимптотика $n^{X_d}(\varepsilon)$ имеет вид
\begin{eqnarray*} \ln n^{X_d}(\varepsilon)= a_d+q(\varepsilon)b_d+o(b_d),\quad d\to\infty, \end{eqnarray*}
где $(a_d)_{d\in\mathbb N}$ и $(b_d)_{d\in\mathbb N}$ это некоторые последовательности, а $q$ — специальная квантиль некоторого саморазложимого или, в частности, устойчивого закона.
В качестве примера мы рассмотрим тензорные произведения эйлеровских интегрированных процессов с данной вариацией параметров гладкости.