Нелинейный аналог обратного образа функций, морфизмы гомотопических алгебр и "микроформальная геометрия"

Морфизмы L-бесконечность алгебр (т.е., гомотопического аналога алгебр Ли) геометрически представляют собой нелинейные отображения супермногообразий. Конструкция подобных морфизмов — нетривиальная задача. В поисках естественной конструкции для L-бесконечность морфизмов "гомотопических скобок Пуассона" мы обнаружили нетривиальный аналог поднятия функций относительно гладких отображений, который является формальным нелинейным отображением бесконечномерных функциональных (супер)многообразий. Это отображение строится методами гамильтонова формализма (или симплектической геометрии) типа производящих функций и обладает крайне любопытными свойствами. В частности, оно решает исходную задачу и связывает конечномерную геометрию "управляющих гамильтонианов" и бесконечномерную геометрию функциональных гомологических векторных полей. Можно представлять себе так, что обычная категория гладких (супер)многообразий вкладывается в некую "формальную категорию", которая является ее формальной окрестностью. Морфизмы этой формальной категории и индуцируют названные нелинейные отображения пространств гладких функций.