Аннотация:
Уже в простейшем конечномерном случае всякое необходимое условие экстремальности, выраженное в инфинитезимальных терминах, в полной мере использует двойственность между дифференциалом исследуемой на экстремум функции и производными по касательным направлениям к многообразию связей при соответствующем значении аргумента. Например, необходимое условие экстремальности значения гладкой функции $f$ в точке $x\in\mathbb R^n$ при наличии связей $g_1=g_2=0$ (правило множителей Лагранжа) можно записать в виде соотношения двойственности
$ker\,df\Bigr|_x \supset T_xG,$ где $T_xG$ — касательное пространство в $x$ к $n-2$-мерному многообразию $G$, заданному уравнениями связей.
В докладе показано на примере типичной задачи оптимального управления — задачи оптимального быстродействия, что и ПМП можно воспринимать как манифестацию двойственности между касательными и соответствующими кокасательными пространствами $T_{x_t}M$ и $T^*_{x_t} M$ к конфигурационному многообразию задачи $M$ вдоль рассматриваемой оптимали $x_t, 0\le t\le T$. Дадим здесь краткое описание этой связи, начав со следующих обозначений.
Через $\mathcal L_{X}$ обозначим производную Ли над $X\in Vect\,M$ — векторное поле, канонически генерируемое на $TM$ полем $X$.Через $\mathcal P_{X}$ обозначим двойственное к нему (и однозначно определенное) векторное поле на кокасательном расслоении $T^*M$, удовлетворяющее соотношению двойственности Э. Картана
$X<\theta,Y> = <\mathcal L_{X}\theta,Y> + <\theta,\mathcal P_{X}Y>\ \forall \theta\in \Lambda^1,\, X,Y\in Vect\,M. $
Я называю это поле производной Понтрягина. Оно было введено для формулировки принципа максимума Л. С. Понтрягиным как гамильтоново поле на $T^*M$, индуцированное гамильтонианом $H_{X}$ на $T^*M$, канонически определяемым векторным полем $X$ формулой
$ H_X(\psi_u)=<\psi_u, X_u>, \ \psi_u\in T^*_uM,\ u\in M. $
Из соотношения двойственности следует, что ограничение поля $\mathcal P_X$ с алгебры $C^\infty(T^*M)$ на подмодуль $Vect\,M$ совпадает со стандартным оператором взятия скобок Ли,
$ \mathcal P_X H_Y=H_{ad_XY}\ \forall X, Y\in Vect\,M. $
Предположим, что оптималь $x_t, 0\le t\le T$, является траекторией допустимого векторного поля $X_t$ задачи. Используя векторные поля $\mathcal L_{X_t}, \mathcal P_{X_t}$ и соответствующие им потоки
$ G^{\tau, t}, \Gamma^{\tau,t},\ 0\le t\le T, \quad G^{\tau,\tau}=id_{TM},\ \Gamma^{\tau,\tau}=id_{T^*M}, $
можно выразить ПМП в форме соотношения двойственной с помощью следующей конструкции.
В каждом касательном пространстве вдоль заданной оптимальной траектории $x_t, 0\le t\le T$, естественно строится замкнутый выпуклый конус вариаций$K_t\subset T_{x_t}M$ с вершиной в начале, который можно переносить с помощью потока $G^{\tau,t}$ в любое другое касательное пространство вдоль $x_t$, причем
$ G^{\tau,t}K_\tau \subset K_t\ \text{при}\ \tau\le t,\quad Y_t-X_t\in K_t\ \forall t\in[0,T], $
где $Y_t$ — произвольный допустимый вектор скорости в точке $x_t$.
Данных определений достаточно, чтобы сформулировать необходимое условие оптимальности траектории $x_t, 0\le t\le T$, в виде следующего утверждения, основанного на двойственности между касательными пространствами $T_{x_T}M$ и $T^*_{x_T}M$ в конечной точке траектории. Cуществует такой ненулевой ковектор $\psi_T\in T^*_{x_T}M$, что отрицательное полупространство его ядра, которое обозначим $ker^{(-)}\psi_T$, содержит конус $K_T$,} \begin{equation}\label{gamk-e1} ker^{(-)}\psi_T\supset K_T, \tag{*} \end{equation} т. е. гиперплоскость $ker\,\psi_T$ является опорной к конусу $K_T$ и ковектор $\psi_T$ направлен в противоположную от $K_T$ сторону. \medskip
Наконец, рассмотрим ковекторную функцию
$ \psi_t=(\Gamma^{T,t})^{-1}\psi_T\in T^*_{x_t}M,\ 0\le t\le T, $
полученную сносом ковектора $\psi_T$ с помощью потока $(\Gamma^{T,t})^{-1}$ вдоль траектории $x_t$ в обратном направлении. Учитывая двойственность между полями $\mathcal L_X$ и $\mathcal P_X$, можно из соотношения двойственности \eqref{gamk-e1} легко извлечь условие максимума
$ <\psi_t,X_t>=H_t\ge\ <\psi_t,Y_t>\quad \forall t\in [0,T]. $
Обратная связь: