Об асимптотике числа специальных спайнов с $n$ вершинами и одной двумерной клеткой

Сложность трехмерного многообразия по Матвееву — это минимальное число вершин в специальном спайне многообразия. Есть несколько серий трехмерных многообразий с известной сложностью, одно из них — семейство $M_n$ ориентируемых гиперболических незамкнутых многообразий, имеющих специальный спайн с $n$ вершинами и одной двумерной клеткой.
Цель доклада — рассказать о свойствах многообразий этого семейства (по работе Фригерио, Мартелли и Петронио). В частности, многообразия семейства $M_n$ взаимно однозначно соответствуют ориентируемым специальным спайнам с одной двумерной клеткой и $n$ вершинами. С помощью этого можно оценить число многообразий из $M_n$. Мы обсудим оценки числа спайнов, которые можно получить, рассматривая некоторые удобные для подсчеты графы особенностей.
В перспективе можно будет попробовать оценить число специальных спайнов с $k$ двумерными клетками и $n$ вершинами.
Определение. Специальным спайном называется конечный связный двумерный клеточный комплекс, такой, что любая его вершина инцидентна 4 ребрам (с учетом кратностей), а каждое ребро инцидентно трем двумерным клеткам (с учетом кратностей). Регулярная окрестность внутренней точки ребра гомеоморфна “книжке с тремя страницами”, регулярная окрестность вершины гомеоморфна конусу над ребрами тетраэдра. Вершины и ребра образуют граф особенностей спайна.