Об одном аналоге известной теоремы Гильберта о нулях для многочленов в алгебраической системе $(\mathbb{R}, \min, +)$

В докладе будут рассматриваться многочлены над так называемым мин-плюс полукольцом $(\mathbb R,\oplus,\otimes)$, где $x \oplus y = \min(x,y)$ и $x \otimes y = x+y$.
Одночленом над переменными $x_1, \ldots, x_n$ в этом полукольце называется выражение вида
$$M = c \otimes x_1^{\otimes i_1} \otimes \ldots \otimes x_n^{\otimes i_n},$$
где $c$ – действительное число. Многочленом над мин-плюс полукольцом называется сумма одночленов: $f = \bigoplus_i M_i.$ Вектор $x \in \mathbb{R}^n$ называется корнем многочлена $f$, если минимум $\min_i\{M_i(x)\}$ достигается на не менее чем двух различных одночленах $M_i$, т. е. если существуют различные $j, k$, такие что $M_j(x) = M_k(x) = \min_i\{M_i(x)\}$.
В докладе будет рассказано об аналоге теоремы Гильберта о нулях в мин-плюс полукольце. А именно, будет введено понятие сингулярной алгебраической комбинации таких многочленов и будет показано, что система многочленов не имеет общего корня тогда и только тогда, когда существует их сингулярная алгебраическая комбинация. Будет также дана верхняя оценка степени этой алгебраической комбинации и приведены примеры, показывающие точность этой оценки.
Доклад основан на совместной работе докладчика и Д.Ю. Григорьева (см. D. Grigoriev, V.V. Podolskii, Tropical Effective Primary and Dual Nullstellensätze, arXiv:1409.6215).