Рост $\ell$-адического регулятора в круговом $Z_\ell$-расширении

Для фиксированных простого $\ell$ и поля алгебраических чисел $k$ пусть $k_\infty$ – круговое $Z_\ell$-расширение $k$. Мы изучаем $\ell$-адический показатель отношения $R_\ell(k_{n+1})/R_\ell(k_n)$, где $k_n$ пробегает все промежуточные подполя расширения $k_\infty/k$ и $R_\ell(k_n)$ – $\ell$-адический регулятор поля $k_n$. Оказывается, что для многих классов полей $k$ этот показатель является весьма простой функцией от $n$.
Если останется время, мы обсудим сходство и различие наших результатов с теоремой Брауэра–Зигеля.