Финальное распределение диффузионного процесса с остановкой

Рассматривается одномерный процесс диффузионного типа. Предполагается, что характеристический оператор процесса, определённый на множестве дважды дифференцируемых функций, представляет собой трёхчлен вида
$${\cal D}f=a(x)f''+b(x)f'-c(x)f,$$
у которого коэффициенты $a(x)$ и $c(x)$ положительны (см. Дынкин, 1963 (с. 726)). Такой характеристический оператор определяет меру марковского диффузионного процесса с обрывом (первая интерпретация), а также меру полумарковского процесса диффузионного типа с остановкой (вторая интерпретация). При второй интерпретации доказано существование предела процесса при стремлении времени к бесконечности (финальная точка). Этот предел существует на любом интервале почти наверное относительно условной меры, порождённой условием, что процесс никогда не выходит из этого интервала. Найдено распределение финальной точки (финальное распределение), выраженное в терминах двух фундаментальных решений обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из исходного характеристического оператора. В качестве примера рассматривается однородный процесс с коэффициентами соответствующего дифференциального уравнения, не зависящими от пространственной переменной. Выведены плотности финального распределения в пространстве, зависящие от начальной точки, а также распределение времени до начала остановки для такого процесса.