Интегрируемость по Дарбу дискретных цепочек Тоды

Еще в середине 19 века Лиувиллем было найдено общее решение уравнения
$$u_{xy}=e^u.$$
Затем классиками в связи с задачами дифференциальной геометрии активно изучались и другие гиперболические уравнения. В частности, в многотомном труде Дарбу по теории поверхностей (начало 20 века) можно встретить именно ту систему уравнений, которая более полувека спустя получила название “двумеризованной цепочки Тоды”. В простейшем случае эта система сводится к уравнению Лиувилля. Новый импульс изучению подобных систем был придан со стороны теории интерируемых систем в последней четверти 20 века. Было показано, что не только цепочка, описанная в книге Дарбу, но и ее обобщения, соответствующие матрицам Картана простых алгебр Ли могут быть, подобно уравнению Лиувилля, полностью проинтегрированы.
В последние 25 лет в духе господствующего общего тренда были предложены различные дискретизации цепочек Тоды. Хабибуллиным (с соавторами) были построены полудискретный и дискретный аналоги цепочек Тоды, соответствующих матрицам Картана, и была доказана интегрируемость по Дарбу этих цепочек длины $2$.
В докладе будет предложено два простых подхода, позволяющих строить интегралы вдоль характеристик для цепочек Тоды как в непрерывном, так и в (полу)дискретном случае и будет доказана полная интегрируемость по Дарбу цепочек серий $A$ и $C$ в (полу)дискретном случае.