Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи

Получены некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи. Доказано, что если среди операторов плотности $\rho_0,\dots,\rho_n$ хотя бы два не коммутируют, то $J(\pi)<\mathscr H(\sum_\alpha\pi_\alpha\rho_\alpha)-\sum_\alpha\pi_\alpha\mathscr H(\rho_\alpha)$, где $J(\pi)$ – верхняя грань количества информации по всем обобщенным измерениям на выходе канала связи при фиксированном распределении $\pi=(\pi_0,\dots,\pi_n)$ на входе. Явно указана более точная оценка сверху для $J(\pi)$.