О неустойчивости индивидуальной эргодической теоремы

Некоторые законы теории вероятностей при их применении к индивидуальным последовательностям имеют свойство “устойчивости” при небольших нарушениях случайности, например, закон больших чисел для симметричной схемы Бернулли выполнен в том случае, когда дефект случайности начального фрагмента последовательности длины $n$ имеет порядок роста $o(n)$. Для выполнения закона повторного логарифма достаточно потребовать, чтобы порядок роста дефекта случайности был $o(\log\log n)$.
В данной работе показано, что индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа в этом смысле неустойчива: любой небольшой рост дефекта случайности на начальных фрагментах бесконечной последовательности нарушает утверждение теоремы. Аналогичное свойство неустойчивости выполнено и для утверждения теоремы Шеннона–Макмиллана–Бреймана.