Асимптотическая эффективность оценивания выпуклого множества

Рассматривается задача оценивания замкнутого выпуклого множества $G$ на плоскости по выборке из равномерного распределения на этом множестве. Предполагается, что $G$ принадлежит либо классу всех замкнутых выпуклых подмножеств заданного круга, мера Лебега которых отделена от нуля, либо меньшему классу всех выпуклых множеств, имеющих гладкие границы с радиусом кривизны $\geq R_0$. Исследуется асимптотика минимаксного риска на этих классах в случае, когда расстояние между оценкой и истинным множеством измеряется в метрике Хаусдорфа. Доказывается, что асимптотика минимаксных рисков различна для этих классов, а именно,$O((n/(\log n))^{-1/2})$ и $O((n/(\log n))^{-2/3})$ соответственно. Более того, для класса гладких выпуклых множеств $G$ устанавливаются точные оценки минимаксного риска с отношением нижней границы к верхней $\approx 0,96$.