О пересечении кодов типа Рида – Маллера

Двоичный код с параметрами и основными свойствами классического кода Рида – Маллера $RM_{r,m}$ порядка $r$ будем называть кодом типа Рида – Маллера порядка $r$ и обозначать через $LRM_{r,m}$. Класс таких кодов содержит семейство кодов, полученных конструкцией Пулатова, а также классические линейные и $\mathbb{Z}_4$-линейные коды Рида – Маллера. Исследуется проблема пересечения кодов типа Рида – Маллера. Доказано, что для любого четного $k$ в интервале $0\le k\le 2^{2\sum\limits_{i=0}^{r-1}\binom{m-1}{i}}$ существуют коды $LRM_{r,m}$ порядка $r$ длины $2^m$, пересечение которых равно $k$. Доказано также, что существуют два кода типа Рида – Маллера порядка $r$ длины $2^m$, пересечение которых равно $2k_1 k_2$, где $1\le k_s\le |RM_{r-1,m-1}|$, $s\in\{1,2\}$, для любой допустимой длины, начиная с $16$.{\parfillskip=0pt\par}