Предельные теоремы для максимального веса пути в направленном графе на целочисленной прямой со случайными весами ребер

Рассматривается бесконечный направленный граф, вершины которого занумерованы целыми числами $\ldots, -2,-1,0,1,2, \ldots\strut$, а любая пара вершин $j<k$ соединена ребром $(j,k)$ между ними, направленным из $j$ в $k$ и имеющим случайный вес $v_{j,k}\in [-\infty,\infty)$, где $\{v_{j,k}, j<k\}$ – семейство независимых и одинаково распределенных случайных величин, которые принимают либо конечные значения (любого знака), либо значение $-\infty$. Путь в таком графе – это последовательность связанных между собой ребер $(j_0,j_1), (j_1,j_2),\ldots,(j_{m-1},j_m)$ (где $j_0<j_1<\ldots <j_m$), а его вес – сумма весов этих ребер $\sum\limits_{s=1}^m v_{j_{s-1},j_s}\ge -\infty$. Пусть $w_{0,n}$ – максимальный вес среди всех путей из $0$ в $n$. В предположениях, что $\mathbf{P}(v_{0,1}>0)>0$, условное распределение $\mathbf{P}(v_{0,1}\in\cdot \mid v_{0,1}>0)$ невырождено и $\mathbf{E}\exp (Cv_{0,1})<\infty$ при некотором $C=\mathrm{const} >0$, изучается асимптотическое поведение случайной последовательности $w_{0,n}$ при стремлении $n\to\infty$. В области нормальных и умеренно больших уклонений получена локальная предельная теорема в случае, когда распределение случайных величин $v_{i,j}$ является арифметическим, и интегро-локальная предельная теорема, если это распределение является нерешетчатым.