О спектре мощностей и числе латинских битрейдов порядка $3$

Унитрейдом (латинским) порядка $k$ называется подмножество вершин графа Хэмминга $H(n,k)$, которое либо пересекается по двум вершинам, либо совсем не пересекается с любой максимальной кликой. Битрейдом называется двудольный, т.е. разделяющийся на два независимых подмножества, унитрейд. Исследуется спектр мощностей битрейдов в графе Хэмминга $H(n,k)$ при $k=3$ (троичном гиперкубе) и рост числа таких битрейдов с ростом $n$. В частности, определены все возможные малые (до $2{,}5\cdot 2^n$) и большие (от $14\cdot 3^{n-3}$) мощности битрейдов размерности $n$ и доказано, что мощность битрейда принимает значения, только сравнимые с $0$ или $2^n$ по модулю $3$ (этот результат имеет трактовку в терминах троичного кода типа Рида–Маллера). Часть результатов применима для произвольного $k$. Доказано, что при $k=3$ и растущем $n$ число неэквивалентных битрейдов не меньше $2^{(2/3-o(1))n}$ и не больше $2^{\alpha^n}$, $\alpha<2$ (порядок роста двойного логарифма от этого числа остается неизвестным). Альтернативно исследуемое множество $B_n$ битрейдов порядка $3$ можно определить следующим образом: $B_0$ состоит из трех чисел $-1,0,1$; $B_n$ состоит из всех упорядоченных троек $(a,b,c)$ элементов из $B_{n-1}$, таких что $a+b+c=0$.