Делимые дуги, делимые коды и задача о расширении для дуг и кодов

Ранее авторами был разработан единый поход к задаче о расширении для дуг в $\mathrm{PG}(k-1,q)$, или, эквивалентным образом, для линейных кодов над конечными полями. Был введен специальный класс дуг, называемых $(t\bmod{q})$-дугами, и было доказано, что свойство расширимости заданной дуги зависит от структуры специальной двойственной дуги, которая оказывается $(t\bmod{q})$-дугой. Здесь изучается общая структура $(t\bmod{q})$-дуг. Доказывается, что всякая такая дуга является суммой дополнений к гиперплоскостям. Кроме того, описываются такие дуги для малых значений $t$, что в случае $t=2$ дает альтернативное доказательство теоремы Маруты о кодах, допускающих расширение. Этот результат геометрически эквивалентен утверждению, что любая $2$-квазиделимая дуга в $\mathrm{PG}(k-1,q)$, $q\ge5$, $q$ нечетно, допускает расширение. В заключение наш подход применяется к задаче о расширении для шапок в $\mathrm{PG}(3,q)$.