Структура систем троек Штейнера $S(2^m-1,3,2)$ ранга $2^m-m+2$ над $\mathbb F_2$

Описана структура всех систем троек Штейнера $S(2^m-1,3,2)$ ранга не более $2^m-m+2$ над полем $\mathbb F_2$. Это индуцирует естественный рекуррентный метод построения систем троек Штейнера произвольного ранга, который, в частности, строит все системы порядка $2^m-1$ и ранга не более $2^m-m+2$. Найдено число всех различных систем троек Штейнера порядка $2^m-1$ и ранга не более $2^m-m+2$, которые ортогональны заданному коду. Доказано, что все тройки Штейнера порядка $2^m-1$ и ранга не более $2^m-m+2$ являются производными и хэмминговыми. При этом все такие тройки вкладываются в системы четверок того же ранга и в совершенные двоичные нелинейные коды того же ранга.