Характеризация асимптотики пикового значения преобразования Гильберта ограниченных сигналов с конечной полосой пропускания

Пиковое значение сигнала – характеристика, подлежащая контролю во многих прикладных задачах. В настоящей статье анализируется пиковое значение преобразования Гильберта на пространстве $\mathcal B_\pi^\infty$ ограниченных сигналов с конечной полосой пропускания. Известно, что преобразование Гильберта для этого пространства нельзя вычислить с помощью обычного интеграла в смысле главного значения, поскольку существуют сигналы, для которых он расходится всюду. Хотя классическое определение для $\mathcal B_\pi^\infty$ не работает, существует более общее определение преобразования Гильберта, основанное на абстрактной двойственности $\mathcal H^1$–$\mathrm{BMO}(\mathbb R)$. Недавно было показано [1], что помимо этого абстрактного определения имеется явная формула для вычисления преобразования Гильберта. На основе этой формулы изучаются свойства преобразования Гильберта на пространстве $\mathcal B_\pi^\infty$ ограниченных сигналов с конечной полосой пропускания. Анализируется асимптотика его роста, и таким образом решается задача о пиковом значении преобразования Гильберта для этого пространства. Кроме того, получены результаты об асимптотике роста преобразования Гильберта для подпространства $\mathcal B_{\pi,0}^\infty$ ограниченных сигналов с конечной полосой пропускания, обращающихся в нуль в бесконечности. Изучение свойств преобразования Гильберта продолжает работу, начатую в [2].