Некоторые свойства энтропии Реньи над бесконечными счетными алфавитами

Изучаются некоторые свойства функционалов энтропии Реньи $H_\alpha(\mathcal P)$ на пространстве вероятностных распределений на $\mathbb Z_+$. Главным образом рассматриваются вопросы непрерывности и сходимости. Некоторые свойства оказываются вполне аналогичными известным свойствам для случая конечного алфавита, а некоторые свойства энтропии Реньи в бесконечном случае ведут себя принципиально иначе. В частности, показано, что для любого распределения $\mathcal P$ и любого $r\in[0,\infty]$ существует последовательность распределений $\mathcal P_n$, сходящаяся к $\mathcal P$ относительно расстояния полной вариации, такая что $\lim_{n\to\infty}\lim_{\alpha\to1+} H_\alpha(\mathcal P_n)=\lim_{\alpha\to1+}\lim_{n\to\infty}H_\alpha(\mathcal P_n)+r$.