О преобразовании Гильберта ограниченных сигналов с конечной полосой пропускания

Рассматривается вопрос о существовании преобразования Гильберта и аналитического сигнала в пространстве $\mathcal B_\pi^\infty$ сигналов с конечной полосой пропускания, ограниченных на вещественной оси. Первоначально теория была развита для сигналов из пространства $L^2(\mathbb R)$ и затем обобщена на более широкие пространства сигналов. Как хорошо известно, обычное интегральное представление преобразования Гильберта может расходиться для некоторых сигналов из $\mathcal B_\pi^\infty$, а само преобразование Гильберта не является ограниченным оператором на $\mathcal B_\pi^\infty$. Тем не менее, определить преобразование Гильберта в пространстве $\mathcal B_\pi^\infty$ возможно. Мы используем определение, основанное на $\mathcal H^1$–$\mathrm{BMO}(\mathbb R)$ двойственности. Это абстрактное определение, пригодное для произвольных ограниченных сигналов, не задает конструктивной процедуры вычисления преобразования Гильберта. Для некоторых практически важных классов ограниченных сигналов с конечной полосой пропускания мы тем не менее можем описать преобразование в явной форме. Показано, что преобразование Гильберта сигнала из $\mathcal B_\pi^\infty$ также имеет конечную полосу пропускания, но не обязательно ограничено. Эти результаты продолжают работы [1,2].