Пропускная способность произведения и суммы двух несогласованных широковещательных каналов

Пусть $p(y_1,z_1|x_1)=p(y_1|x_1)p(z_1|y_1)$ и $p(y_2,z_2|x_2)=p(z_2|x_2)p(y_2|z_2)$ – два ухудшенных широковещательных канала. Широковещательный канал с передатчиком $(X_1,X_2)$ и приемниками $(Y_1,Y_2)$ и $(Z_1,Z_2)$ называется произведением двух несогласованных ухудшенных широковещательных каналов.
Аналогично сумма двух несогласованных ухудшенных широковещательных каналов определяется как широковещательный канал с передатчиком $(X_1\cup X_2)$ и приемниками $Y_1\cup Y_2$ и $Z_1\cup Z_2$. В отличие от первоначальных широковещательных каналов ни сумма, ни произведение не являются ухудшенными широковещательными каналами.
Установлена область пропускной способности для:
$(i)$ произведения двух несогласованных ухудшенных дискретных широковещательных каналов без памяти;
$(ii)$ спектрального гауссовского широковещательного канала;
$(iii)$ суммы двух несогласованных ухудшенных дискретных широковещательных каналов без памяти.
Эти теоремы о пропускной способности содержат частичные результаты о произведении дискретных каналов без памяти, полученные Г. Ш. Полтыревым, и о спектральном гауосовском широковещательном канале, полученные Д. Хьюдж-Хартогсом. Они также доказывают, что область скоростей, полученная Хьюдж-Хартогсом, оптимальна при нулевой общей скорости.