Точная асимптотика вероятностей больших уклонений статистики $\omega^2$ при проверке гипотезы симметрии

Рассмотрена статистика $\omega^2$, предназначенная для проверки гипотезы симметрии и имеющая вид
$$ \omega^2_n=n\int\limits_{-\infty}^\infty[F_n(x)+F_n(-x)-1]^2\,dF_n(x), $$
где $F_n(x)$ – эмпирическая функция распределения.
На основе метода Лапласа для эмпирических мер найдена точная асимптотика при $n\to\infty$ вероятности
$$ \mathrm{P}\{\omega_n^2>nv\} $$
для $0<v<1/3$.
Константы, входящие в формулу для точной асимптотики, вычислены в результате решения экстремальной задачи для функционала действия и исследования спектра дифференциального оператора второго порядка типа Штурма–Лиувилля.