Симметричные ранговые коды

Хорошо известно, что конечное поле $\mathbb K_n=GF(q^n)$ может быть описано в терминал $(n\times n)$-матриц $A$ над полем $\mathbb K=GF(q)$ таких, что степени $A^i$, $i=1,2,\dots,q^n-1$, соответствуют всем ненулевым элементам поля. Показано, что для полей $\mathbb K_n$ характеристики 2 матрица $A$ может быть выбрана симметричной. Приведены конструкции симметричных матриц, представляющих поле. Указанные матрицы совместно с нулевой матрицей можно рассматривать как $\mathbb K_n$-линейный код в ранговой метрике с максимальным ранговым расстоянием $d=n$ и максимально возможным объемом $q^n$. Эти коды названы симметричными ранговыми кодами. В векторном представлении такие коды являются линейными $[n,1,n]$-кодами с максимальным ранговым расстоянием (MPP), что позволяет использовать известные методы декодирования ранговых ошибок. Для симметричных кодов в статье предложен метод симметризации стираний, позволяющий существенно уменьшить сложность декодирования по сравнению со стандартными методами.
Доказано также, что линейный $[n,k,d=n-k+1]$ MPP-код $\nu_k$, содержащий в качестве подкода упомянутый выше одномерный симметричный код, обладает тем свойством, что соответствующий транспонированный код является $\mathbb K_n$-линейным. Такие коды обладают повышенной корректирующей способностью при исправлении симметричных ошибок и стираний.