On the $\sigma_i$-length of a finite $\sigma$-soluble group

Пусть $\sigma=\{\sigma_i\mid i\in I\}$ некоторое разбиение множества всех простых чисел $\mathbb{P}$ и $G$ — конечная группа. $G$ называется $\sigma$-разрешимой, если каждый главный фактор $H/K$ $G$ — это $\sigma_i$-группа для некоторого $i=i(H/K)$. Мы доказываем следующую теорему.
Теорема. (i) Если $G$ — $\pi$-отделимая группа, $H$ — нильпотентная холлова $\pi$-подгруппа и $E$ — $\pi$-дополнение группы $G$ со свойством $EX=XE$ для некоторой подгруппы $X$ в $H$ такой, что $H'\leqslant X\leqslant\Phi(H)$, тогда $l_\pi(G)\leqslant1$.
(ii) Если $G$ — $\sigma$-разрешимая группа и $\{H_1,\dots, H_t\}$ — виландтов $\sigma$-базис группы $G$ такой, что $H_i$ перестановочна с $H_j$ для всех $i$, $j$, тогда $l_{\sigma_i}(G)\leqslant 1$ для всех $i$.
(iii) Если $G$ — $\sigma$-разрешимая группа и $\{H_1,\dots, H_t\}$ — виландтов $\sigma$-базис группы $G$ такой, что $H_i$ перестановочна с $\Phi(H_j)$ для всех $i$, $j$, тогда $l_{\sigma_i}(G)\leqslant 1$ для всех $i$.
(iv) Если $l_\pi(G)\leqslant 1$, то $QX=XQ$ для каждой характеристической подгруппы $X$ группы $H$ и любой силовской подгруппы $Q$ в $G$ такая, что $HQ=QH$.
(v) Если $G$ — $\sigma$-разрешимая группа с $l_{\sigma_i}(G)\leqslant 1$ для всех $i$ и $\{H_1,\dots, H_t\}$ является $\sigma$-базисом $G$, тогда каждая характеристическая подгруппа группы $H_i$ перестановочна с каждой характеристической подгруппой группы $H_j$.