On one generalization of $\sigma$-local and Baer-local formations

Все рассматриваемые в работе группы конечны, и $G$ — конечная группа. Пусть $\sigma=\{\sigma_i\mid i\in I\}$ — некоторое разбиение множества всех простых чисел $\mathbb{P}$. Тогда $\sigma(G)=\{\sigma_i\mid \sigma_i\cap\pi(G)\ne\varnothing\}$; $\sigma^+(G)=\{\sigma_i\mid G \text{ содержит главный фактор } H/K, \text{ такой что } \sigma(H/K)=\{\sigma_i\}\}$. Группа $G$ называется: $\sigma$-примарной, если $G$ — $\sigma_i$-группа для некоторого $i$; $\sigma$-разрешимой, если каждый главный фактор из $G$ является $\sigma$-примарным. Символ $R_\sigma(G)$ обозначает произведение всех нормальных $\sigma$-разрешимых подгрупп из $G$. Главный фактор $H/K$ из $G$ называется: $\sigma$-центральным (в $G$), если произведение $(H/K)\rtimes(G/C_G(H/K))$ является $\sigma$-примарным; $\sigma_i$-фактором, если $H/K$ — $\sigma_i$-группа. Мы говорим, что $G$: $\sigma$-нильпотентна, если каждый главный фактор из $G$ $\sigma$-централен; обобщенно $\sigma_i$-нильпотентна, если каждый главный $\sigma_i$-фактор из $G$ $\sigma$-централен. Символ $F_{\{g\sigma_i\}}(G)$ обозначает произведение всех нормальных обобщенно $\{\sigma_i\}$-нильпотентных подгрупп из $G$. Мы называем произвольную функцию $f$ вида $f:\sigma\cup\{\varnothing\}\to\{\text{формации групп}\}$, где $f(\varnothing)\ne\varnothing$, обобщенно формационной $\sigma$-функцией и полагаем
$$ BLF_\sigma(f)=(G\mid G/R_\sigma(G)\in f(\varnothing) \text{ и } G/F_{\{g\sigma_i\}}(G)\in f(\sigma_i) \text{ для всех }\sigma_i\in\sigma^+(G)). $$
Если для некоторой обобщенно формационной $\sigma$-функции $f$ имеет место $\mathfrak{F}=BLF_\sigma(f)$, то мы говорим, что класс $\mathfrak{F}$ является Бэра-$\sigma$-локальным и $f$ — обобщенно $\sigma$-локальное определение $\mathfrak{F}$. В данной работе описываются основные свойства, примеры и некоторые приложения Бэра-$\sigma$-локальных формаций.