Критерии $p$-сверхразрешимости конечных групп

Пусть $H$ — подгруппа конечной группы $G$. Будем говорить, что подгруппа $H$ $\tau$-квазинормальна в $G$, если $H$ перестановочна с каждой силовской подгруппой $Q$ из $G$, такой что $(|H|, |Q|)=1$ и $(|H|, |Q^G|)\ne1$. Доказан следующий результат. Пусть $G=AT$, где $A$ — холлова $\pi$-подгруппа группы $G$ и $T$ — $p$-нильпотентная подгруппа для некоторого простого числа $p\notin\pi$. Пусть $P$ — силовская $p$-подгруппа в $T$ и предположим, что подгруппа $A$ $\tau$-квазинормальна в $G$. Предположим, что существует такое число $p^k$, что $1<p^k<|P|$ и $A$ перестановочна с каждой подгруппой из $P$ порядка $p^k$ и с каждой циклической подгруппой из $P$ порядка $4$ (если $p^k=2$ и $P$ — неабелева подгруппа). Тогда группа $G$ $p$-сверхразрешима.