О сохранении структуры подпространств векторными булевыми функциями

Рассматривается сохранение функцией $F: \mathbb{F}_2^{n} \to \mathbb{F}_2^{m}$ структуры аффинного подпространства $U \subseteq \mathbb{F}_2^{n}$, т. е. случаи, когда $F(U) = \{F(x) : x \in U\}$ является аффинным подпространством $\mathbb{F}_2^{m}$. Приводится связь данного свойства с наличием у $F$ компонентных функций, ограничения которых на рассматриваемое подпространство являются постоянными, а также с оценками нелинейности и порядка дифференциальной равномерности $F$. Доказано, что множество размерностей аффинных подпространств, структуру которых сохраняет функция обращения элементов поля $\mathbb{F}_{2^n}$, является наименьшим среди всех взаимно однозначных мономиальных функций.