Об инвариантных подпространствах функций, аффинно эквивалентных обращению элементов конечного поля

Рассматриваются аффинные подпространства над $\mathbb{F}_{p}$ конечного поля $\mathbb{F}_{p^n}$, $p$ — простое, образ которых под действием функции $x^{-1}$, обращающей элемент $x$ поля (считаем, что $0^{-1} = 0$), также является аффинным подпространством. Доказано, что образ аффинного подпространства $U$, $|U| > 2$, является аффинным подпространством, если и только если $U = q \mathbb{F}_{p^k}$, где $q \in \mathbb{F}^*_{p^n}$ и $k | n$. Другими словами, все такие подпространства выражаются через подполя поля $\mathbb{F}_{p^n}$. В качестве следствия предложено достаточное условие, при котором функция $A(x^{-1}) + b$ не имеет инвариантных аффинных подпространств $U$ мощности $2 < |U| < p^n$, где $A: \mathbb{F}_{p^n} \to \mathbb{F}_{p^n}$ — обратимое линейное преобразование, $b \in \mathbb{F}^*_{p^n}$. Приведены примеры функции, у которых, исключая само $\mathbb{F}_{p^n}$, отсутствуют инвариантные аффинные подпространства.