Схемы построения минимальных вершинных $1$-расширений полных двухцветных графов

Рассматриваются двухцветные графы, то есть графы, вершины которых раскрашены в два цвета. Пусть $G=(V, \alpha, f)$  — цветной граф с определённой на множестве его вершин функцией раскраски $f$. Цветной граф $G^*$ называется вершинным $1$-расширением цветного графа $G$, если граф $G$ можно вложить с учётом цветов в каждый граф, получающийся из графа $G^*$ удалением любой его вершины вместе с инцидентными рёбрами. Вершинное $1$-расширение $G^*$ графа $G$ называется минимальным, если граф $G^*$ имеет на две вершины больше, чем граф $G$, а среди всех вершинных $1$-расширений графа $G$ с тем же числом вершин граф $G^*$ имеет минимальное число рёбер. Предлагается полное описание минимальных вершинных $1$-расширений полных двухцветных графов. Пусть $K_{n_1, n_2}$  — полный $n$-вершинный граф с $n_1$ вершинами одного цвета и $n_2$ вершинами другого цвета. Если в полном двуцветном графе $n_1 = n_2 = 1$, то в минимальном вершинном $1$-расширении такого графа будет одно дополнительное ребро. Если в полном двуцветном графе либо $n_1 = 1$, либо $n_2 = 1$, то в минимальном вершинном $1$-расширении такого графа будет $2n - 1$ дополнительных рёбер. Во всех остальных случаях в минимальном вершинном $1$-расширении полного двухцветного графа будет $2n$ дополнительных рёбер. Предлагаются схемы построения соответствующих минимальных вершинных $1$-расширений.