Центральная предельная теорема для $U$-статистик от цепочек меток вершин на полном графе

В полном графе с вершинами $1,2,\ldots, n$ вершины $2,3,\ldots,n$ снабжены независимыми случайными метками, принимающими значения из конечного множества ${\mathcal A}_N$. Рассматривается совокупность всех цепей по $s$ смежных рёбер, каждая из которых выходит из вершины $1$ и не проходит через одну и ту же вершину дважды. Каждой цепи соответствует $s$-цепочка из случайных меток пройденных вершин. Рассматривается $U$-статистика $U_k(s)$ с ядром, зависящим от $k$ таких $s$-цепочек. Число $k \ge 2$ считается фиксированным, а $s\ge 1$ может меняться. Установлено, что достаточным условием асимптотической нормальности $U_k(s)$ (при обычной стандартизации) является условие вида $\mathbf{D} U_k(s) \ge C n^{2(ks-1)+\varkappa}$, где $C,\varkappa>0$.