О построении максимальных гиперэллиптических кривых рода $3$

Описываются два метода построения максимальных гиперэллиптических кривых рода три над конечным полем, т. е. кривых, число точек на которых достигает верхнюю границу Хассе  — Вейля  — Серра. Рассматриваются кривые с уравнением $y^2=x^7+ax^4+bx$, допускающие декомпозицию на эллиптические кривые. В основе первого метода  — построение пары суперсингулярных эллиптических кривых над простым полем, $j$-инвариант одной из которых равен $1728$ или $0$, а $j$-инвариант другой кривой также известен. По построенным эллиптическим кривым строится искомая максимальная гиперэллиптическая кривая над подходящим расширением простого поля. Этот метод не исчерпывает всех максимальных кривых, но даёт весьма эффективный алгоритм построения некоторых их семейств. Второй метод основан на факторизации многочленов Лежандра, которые представляют собой инварианты Хассе соответствующих эллиптических кривых в декомпозиции якобиана. Метод позволяет построить все возможные максимальные кривые для случая $b=1$ и поля $\mathbb{F}_{p^2}$, и мы применяем его для построения всех максимальных кривых для $p \leq 7151$ и $a \neq 0$.