Оценка с помощью матрично-графового подхода характеристик локальной нелинейности итераций преобразований векторных пространств

В порядке обобщения матрично-графового подхода к исследованию характеристик нелинейности преобразований векторных пространств, предложенного В. М. Фомичевым, развивается математический аппарат для локальной нелинейности преобразований. Пусть $G=\left\{0,1,2\right\}$ — мультипликативная полугруппа, где $a0=0$ для любого $a\in G$; $ab=\max\left\{a,b\right\}$ для любых $a,b\neq0$. Троичная матрица (то есть матрица над $G$) называется $\alpha$-матрицей, $\alpha\in\Pi\left(2\right)=\left\{ \left<2c\right>;\left<2s\right>;\left<2sc\right>;\left<2\right> \right\}$, если все её строки ($\left<2s\right>$-матрица), столбцы ($\left<2c\right>$-матрица), строки и столбцы ($\left<2sc\right>$-матрица) содержат $2$ или если все элементы равны $2$ ($\left<2\right>$-матрица). Обозначим $M_{n}^{\alpha} \left( I\!\times\!J \right)$ множество троичных матриц $M$ порядка $n$, чьи $I\!\times\!J$-подматрицы (полученные вычеркиванием строк с номерами не из $I$ и столбцов с номерами не из $J$) являются $\alpha$-матрицами, $I,J\in\left\{1,\dots,n\right\}$. На множестве троичных матриц определено умножение. Если $A=\left(a_{i,j}\right)$, $B=\left(b_{i,j}\right)$, то $AB=C=\left( c_{i,j}\right) $, где $c_{i,j}=\max\left\{a_{i,1}b_{1,j},\dots,a_{i,n}b_{n,j}\right\}$ и для любых допустимых $i,j$ умножение элементов выполняется в группе $G$. Матрицу $M$ назовём $I\!\times\!J\text{-}\alpha$-примитивной, если существует $\gamma\in \mathbb{N}$, такое, что $M^{t}\in M_{n}^{\alpha}\left(I\!\times\!J\right)$ при всех натуральных $t\ge\gamma, \alpha\in\Pi\left(2\right)$. Наименьшее из таких чисел $\gamma$ обозначим $I\!\times\!J\text{-}\alpha\text{-exp}\,M$ и назовём $I\!\times\!J\text{-}\alpha$-экспонентом матрицы $M$. Троичным матрицам порядка $n$ биективно соответствуют $n$-вершинные орграфы с множеством $G$ меток дуг, поэтому на орграфы распространены определения $I\!\times\!J\text{-}\alpha$-примитивности и $I\!\times\!J\text{-}\alpha$-экспонента. Получены достаточные условия того, что $I\!\times\!J\text{-}\alpha$-экспонент матрицы равен наименьшей её степени, в которой $I\!\times\!J$-подматрица является $\alpha$-матрицей, $\alpha\in\Pi\left(2\right)$. При $I=\left\{i\right\}$, $J=\left\{j\right\}$ для частных классов помеченных орграфов получены верхние оценки $I\!\times\!J\text{-}\alpha$-экспонентов, в частности для орграфа, в котором имеется путь из $i$ в $j$, проходящий через компоненту сильной связности.