О классе степенных кусочно-аффинных подстановок на неабелевой группе порядка $2^m$, обладающей циклической подгруппой индекса два

Четыре неабелевы группы порядка $2^m$, $m \ge 4$, имеют циклические подгруппы индекса два. Примерами являются широко известная группа диэдра и обобщённая группа кватернионов. Произвольная неабелева группа $G$ порядка $2^m$, обладающая циклической подгруппой индекса два, в определённом смысле близка к встречающейся в качестве группы наложения ключа аддитивной абелевой группе кольца вычетов $\mathbb{Z}_{2^m}$. В данной работе на группе $G$ задаются два класса преобразований, названных степенными кусочно-аффинными, для которых доказаны критерии биективности. Они позволят далее провести полную классификацию ортоморфизмов, полных преобразований и их вариаций во множестве всех степенных кусочно-аффинных подстановок.