О числе $f$-рекуррентных серий и цепочек в конечной цепи Маркова

Будем называть $f$-рекуррентной цепочкой отрезок дискретной последовательности, знаки которого получаются последовательным применением функции $f$ к $l$ предыдущим знакам, а цепочку, которую нельзя продлить ни в одну сторону с сохранением свойства $f$-рекуррентности, — $f$-рекуррентной серией. При помощи метода Чена–Стейна получена оценка расстояния по вариации между распределением числа $\xi$ $f$-рекуррентных серий длины не меньше $s$ в отрезке длины $n$ конечной эргодической стационарной цепи Маркова и сопровождающим законом распределения Пуассона, т. е. распределением Пуассона с параметром $\lambda_s=\mathsf{E} \xi$, порядка O$\left(s \lambda_s/n+\text{e}^{u s} \sqrt{\lambda_s}\right)$ при некотором $u>0$. Из этой оценки стандартными методами выведены пуассоновская и нормальная предельные теоремы для случайной величины $\xi$ (при стремлении длины $n$ отрезка цепи Маркова и параметра $s$ к бесконечности). Также полученная оценка позволяет показать, что вероятность наличия $f$-рекуррентных цепочек длины не меньше $s$ стремится к $1-\text{e}^{\lambda}$, если $n,s\to \infty$ так, что $s/n\to 0$, $\lambda_s/n \to 0$ и $\lambda_s\to \lambda$. Свойства распределений частот $f$-рекуррентных серий или цепочек с определёнными свойствами могут быть использованы при разработке статистических критериев для проверки качества псевдослучайных последовательностей.