Весовые свойства примитивных матриц

Для неотрицательных матриц порядка $n>2$ представлены результаты, характеризующие зависимость свойства примитивности от веса (количества положительных элементов) матрицы: 1) любая матрица веса $k\le n$ непримитивная; 2) для $k=n+1,\dots,n^2-n+1$ существует и непримитивная матрица веса $k$, и примитивная матрица веса $k$ с экспонентом $\gamma$, где $n+2\lfloor\sqrt{2(n-1)}\rfloor\le\gamma+k\le n^2-n+3$; 3) любая матрица веса $k=n^2-n+2,\dots,n^2-1$ примитивная, её экспонент $\gamma=2$. Установлено, что при возведении в степень некоторых примитивных матриц вес степеней матрицы изменяется немонотонно.