Критерий примитивности и оценки экспонентов множества орграфов с общим множеством контуров

Пусть $\hat\Gamma=\{\Gamma_1,\dots,\Gamma_p\}$ – множество орграфов с множеством вершин $V$, орграф $U^{(p)}$ – объединение орграфов $\Gamma_1\cup\dots\cup\Gamma_p$ без учёта кратности дуг, $p>1$, и множество простых контуров $\hat C=\{C_1,\dots,C_m\}$, $m\geq1$, является общим для $\hat\Gamma$, то есть каждый орграф множества $\hat\Gamma$ содержит все контуры множества $\hat C$. Для случая $C_1^*\cup\dots\cup C_m^*=V$, где $C_i^*$ – множество вершин контура $C_i$, $i=1,\dots,m$, получены критерии примитивности и оценки экспонентов множеств орграфов с общими контурами. При $m>1$ множество орграфов $\hat\Gamma$ с общим множеством контуров $\hat C$ примитивное, если и только если орграф $U^{(p)}$ примитивный, и $\exp\hat\Gamma\leq((p-1)h+1)\exp U^{(p)}$, где $h$ – показатель $V_\mathrm{loop}$-признака в полугруппе $\langle\Gamma(\hat C)\rangle$, $\Gamma(\hat C)=C_1\cup\dots\cup C_m$ (наименьшее натуральное число $h$, при котором $(\Gamma(\hat C))^h$ имеет петли во всех вершинах). При $m=1$ критерий примитивности и оценка экспонента уточнены: если все орграфы множества $\hat\Gamma$ имеют общий гамильтонов контур, то множество $\hat\Gamma$ примитивное, если и только если НОД длин всех простых контуров $U^{(p)}$ равен 1, и $\exp\hat\Gamma\leq(2n-1)p+\sum_{\tau=1}^p(F(L_\tau)+d_\tau-l_1^\tau)$, где $L_\tau=\{l_1^\tau,\dots,l_{m(\tau)}^\tau\}$ – множество длин всех простых контуров орграфа $\Gamma_\tau$, $l_1^\tau<\dots<l_{m(\tau)}^\tau=n$, $d_\tau=\text{НОД}(L_\tau)$, $L_\tau/d_\tau=\{l_1^\tau/d_\tau,\dots,l_{m(\tau)}^\tau/d_\tau\}$, $F(L_\tau)=d_\tau\Phi(L_\tau/d_\tau)$, $\Phi(L_\tau/d_\tau)$ – число Фробениуса, $\tau=1,\dots,p$.