Обобщённые многочлены Нараяны и их $q$-аналоги

На введённых $312$-избегающих ГС-перестановках порядка $r\geq1$ рассматриваются производящие многочлены статистик $\mathrm{rise}$, $\mathrm{des}$ и $\mathrm{inv}$. Показано, что многочлены статистик $\mathrm{rise}$ и $\mathrm{des}$ являются обобщением известных многочленов Нараяны. Получены обратная производящая функция, алгебраическое уравнение для производящей функции и рекуррентная формула с кратными свёртками для обобщённых многочленов Нараяны. Для производящих многочленов пары $\mathrm{(des,inv)}$ найдены аналог полученной рекуррентной формулы и уравнение для производящей функции этих многочленов, частный случай которых приводит к соответствующим $q$-аналогам обобщённых многочленов Нараяны.