Свойства группы, порождённой группами сдвигов векторного пространства и кольца вычетов

Аддитивные группы кольца вычетов $\mathbb Z_{2^n}$ и векторного пространства $V_n$ над полем $\mathrm{GF}(2)$, а также порождённая ими группа $G_n$ имеют общие системы импримитивности и являются подгруппами силовской $2$-подгруппы симметрической группы $S(\mathbb Z_{2^n})$. Данные группы возникают в криптографии при использовании в качестве способа наложения ключа относительно операций сложения из $V_n$ и $\mathbb Z_{2^n}$. В работе приведено подстановочное строение подгрупп группы $G_n$. Показано, что подгруппами $G_n$ являются группа нижнетреугольных $(n\times n)$-матриц над полем $\mathrm{GF}(2)$ и полная аффинная группа над кольцом вычетов $\mathbb Z_{2^n}$. Рассмотрена характеризация импримитивных подгрупп группы $G_n$.