Свойства статистик Мак-Магона на множествах слов

Рассматриваются свойства статистик Мак-Магона $\mathrm{maj}$ и $\mathrm{inv}$ на трёх множествах слов над алфавитом $\{1,\dots,n\}$: 1) перестановки степени $n$; 2) все слова длины $n$; 3) вогнутые перестановки степени $n$. На множествах п. 1 и 3 получены новые рекурсивные описания производящих многочленов пар $\mathrm{(des,maj)}$ и $\mathrm{(des,inv)}$; на множестве слов п. 2 найдены только соответствующие рекурсивные описания для пары $\mathrm{(des,maj)}$ и статистики $\mathrm{inv}$. Эти рекурсивные описания использованы на множествах п. 1 и 2 для другого доказательства известной теоремы Мак-Магона о совпадении распределений $\mathrm{maj}$ и $\mathrm{inv}$. На множестве слов п. 2 определены статистики $\mathrm{fas}$ и $\mathrm{cas}$ как особые средние значения символа в слове, причем $\mathrm{fas}$ и $\mathrm{des}$ одинаково распределены, и доказана теорема о совпадении распределений пар $\mathrm{(fas,maj)}$ и $\mathrm{(fas,inv)}$, а также пар $\mathrm{(cas,maj)}$ и $\mathrm{(cas,inv)}$.