Исследование класса дифференцируемых функций в кольцах классов вычетов по примарному модулю

Для класса $D_n$ дифференцируемых по модулю $p^n$ функций, являющегося обобщением класса полиномиальных функций, найдены подмножества функций $A_n$, $B_n$, $C_n$, такие, что для каждой функции из $D_n$ существует единственное представление через функции подмножеств $A_n$, $B_n$, $C_n$. С помощью этого представления получены число всех функций, число биективных функций и число транзитивных функций класса $D_n$. Из полученных мощностных соотношений следует, что в множество транзитивных дифференцируемых по модулю $p^2$ функций входят только полиномиальные функции, однако при подъёме модуля множество дифференцируемых транзитивных функций начинает отличаться от множества транзитивных полиномиальных функций. Показано, что для обратимости функции из $D_n$ необходимым и достаточным условием является её обратимость по модулю $p$ и неравенство нулю производных по всем модулямю $p^i$, $i=2,\dots,n$. Получена рекуррентная формула для вычисления обратной функции. Найдены условия транзитивности функций, из которых следует, что из любой транзитивной дифференцируемой по модулю $p^{n-1}$ функции можно построить транзитивную дифференцируемую по модулю $p^n$ функцию, совпадающую с первой по модулю $p^{n-1}$.