О подстановках, разрушающих структуру подпространств определённых размерностей

Рассматриваются асимптотические оценки мощности множеств $\mathcal{P}_{n}^{k}$ обратимых функций $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^n$, для которых любое $U \subseteq \mathbb{F}_2^n$ и его образ $F(U)$ не могут одновременно являться аффинными подпространствами $\mathbb{F}_2^n$ размерности $k$, где $3 \leq k \leq n - 1$. Приведены нижние оценки мощности $\mathcal{P}_{n}^{k}$ и $\mathcal{P}_{n}^{k} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$, усиливающие результаты 2007 г. (W. E. Clark, X. Hou, A. Mihailovs) о непустоте данных множеств. Доказано, что почти все подстановки на $\mathbb{F}_2^n$ принадлежат $\mathcal{P}_{n}^{4} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$. Для мощности множества $\mathcal{P}_{n}^{3}$ получены асимптотические оценки снизу и сверху с точностью до $o(2^n!)$: $o(1) \leq |\mathcal{P}_{n}^{3}|/2^n! - (1 - \rho) \leq \rho^2/2 + o(1)$, где $\rho = 5/224$. Данные оценки справедливы и для мощности $\mathcal{P}_{n}^{3} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$. Схожим образом оценено снизу число функций из $\mathcal{P}_{n}^{4} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$, которые отображают ровно одно аффинное подпространство $\mathbb{F}_2^n$ размерности $3$ в аффинное подпространство. Приведена связь ограничений компонентных функций $F$ со случаем, когда и $U$, и $F(U)$ — аффинные подпространства $\mathbb{F}_2^n$. Предложена характеризация дифференциально $4$-равномерных подстановок в рассматриваемых терминах.