Упрощённая формула суммирования дискретных значений некоторых функций

Получен упрощённый вариант формулы суммирования Эйлера  — Маклорена
$${\textstyle\sum\limits_{k=0}^{m}}f(a+kh)=\dfrac{1}{h}\int_{y_0}^{y_m}f(y) dy-{\textstyle\sum\limits_k} h^{2k-1}b_k\big(f^{(2k-1)}(y_m)-f^{(2k-1)}(y_0)\big),$$
где $y_0=a-h/2$; $y_m=a+(m+1/2)h$. Формула включает в себя интегральную оценку суммы дискретных отсчётов функции и поправку к ней в виде суммы ряда весовых граничных значений её нечётных производных. Упрощением является исключение из результата суммирования полусуммы граничных значений функции и достигается путём смещения $h r$ отсчётов внутрь отрезков интегрирования. Доказывается, что оптимальным является смещение каждого отсчёта в середину отрезка $r=1/2$. Это смещение задаёт пределы интегральной оценки $y_0$, $y_m$ и значения весовых коэффициентов производных поправочного ряда. Найдено аналитическое выражение этих коэффициентов и их производящая функция
\begin{equation*} b_k=\frac{1-2^{1-2k}}{(2k)!}B_{2k},\ \Psi_b(t)=1-\frac{t}{2}\mathrm{cosech}\,\frac{t}{2}=\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k t^{2k}, \end{equation*}
где $ B_{2k}$  — числа Бернулли. На примерах получения точных выражений сумм $\sum\limits_{k=1}^{m}k^n$, $\sum\limits_{k=k_0}^{m}a^{hk}$, где $m,n$  — целые положительные числа, показана справедливость полученной формулы и производящей функции её коэффициентов. Формула была использована для получения приближённых выражений для дзета-функции Римана, пси-функции, полигамма функций, а также сумм бесконечных обратностепенных рядов и гармонического ряда. На основании анализа погрешности этих выражений показаны преимущества упрощённой формулы перед формулой Эйлера  — Маклорена в точности и краткости.