О единственности минимального рёберного $1$-расширения гиперкуба $Q_4$

Одним из важных свойств надёжных вычислительных систем является их отказоустойчивость. Для исследования отказоустойчивости можно использовать аппарат теории графов. Рассматриваются минимальные рёберные расширения графа, которые являются моделью для исследования отказа связей вычислительной системы. Граф $G^* = (V^*, \alpha^*)$ с $n$ вершинами называется минимальным рёберным $k$-расширением $n$-вершинного графа $G = (V, \alpha)$, если граф $G$ вкладывается в каждый граф, получающийся из $G^*$ удалением любых его $k$ рёбер и имеет при этом минимально возможное число рёбер. Гиперкуб $Q_n$ — это регулярный $2^n$-вершинный граф порядка $n$, представляющий собой декартово произведение $n$ полных $2$-вершинных графов $K_2$. Гиперкуб является распространённой топологией для построения вычислительных систем. Ранее было описано семейство графов $Q^*_n$, представители которого при $n>1$ являются минимальными рёберными $1$-расширениями соответствующих гиперкубов. В данной работе получено аналитическое доказательство единственности минимальных рёберных $1$-расширений гиперкубов при $n \leq 4$ и установлено общее свойство произвольного минимального рёберного $1$-расширения гиперкуба $Q_n$ при $n > 2$: оно не содержит рёбер, соединяющих вершины, расстояние между которыми в гиперкубе равно $2$.