Superpositions of free Fox derivations

Дифференцирования Фокса являются эффективным инструментом исследования свободных групп и их групповых колец. Пусть $F_r$ — свободная группа конечного ранга $r$ с базисом $\{f_1, \ldots , f_r\}.$ Для любого $i$ частные дифференцирования Фокса $\partial /\partial f_i$ и $\partial /\partial f_i^{-1}$ определены на групповом кольце $\mathbb{Z}[F_r]$. Для $k\geq 2$ их суперпозиции $D_{f_i^{\epsilon}} = \partial /\partial f_i^{\epsilon_k} \circ \ldots \circ \partial /\partial f_i^{\epsilon_1}, \epsilon = (\epsilon_1, \ldots , \epsilon_k) \in \{\pm 1\}^k$ не являются дифференцированиями Фокса. В работе изучаются свойства суперпозиций $D_{f_i^{\epsilon}}$. Показано, что ограничения таких суперпозиций на коммутант $F_r'$ являются дифференцированиями Фокса. В качестве приложения полученных результатов установлено, что для любого рационального подмножества $R$ коммутанта $F_r'$ и любого $i$ существуют параметры $k$ и $\epsilon$, такие, что $R$ аннулируется суперпозицией $D_{f_i^{\epsilon}}$.