О некоторых свойствах произведения Шура — Адамара для линейных кодов и их приложениях

Произведение Шура  — Адамара активно используется при криптоанализе асимметричных кодовых криптосистем типа Мак-Элиса, основанных на линейных кодах. Именно, это произведение успешно применяется при криптоанализе кодовых систем на подкодах обобщённых кодов Рида  — Соломона, на двоичных кодах Рида  — Маллера и их подкодах коразмерности 1, на соединении некоторых известных кодов. В качестве способа усиления стойкости криптосистемы авторами ранее предложена система на тензорном произведении линейных кодов. С целью анализа стойкости этой системы в настоящей работе исследуются свойства произведения Шура  — Адамара для тензорного произведения произвольных линейных кодов. В результате получены необходимые и достаточные условия, когда $s$-я степень тензорного произведения кодов перестановочно эквивалентна прямой сумме кодов. Этот результат позволяет, в частности, выбирать параметры линейных кодов так, чтобы произведение Шура  — Адамара для тензорного произведения совпадало со всем пространством, в котором это произведение определено. Таким образом, могут быть определены параметры линейных кодов, при которых атака на основе произведения Шура  — Адамара, применённого к публичному ключу, не проходит. Получены некоторые новые свойства произведения Шура  — Адамара для линейных кодов, которые позволили, в частности, доказать неразложимость двоичных кодов Рида  — Маллера. Как следствие, доказана теорема о структуре группы перестановочных автоморфизмов прямой суммы неразложимых кодов.