О степени ограничений функций $q$-значной логики на линейные многообразия

В случае конечного поля $\mathbb{F}_q$ степень ограничения функции $q$-значной логики от $n$ переменных на линейное многообразие размерности $r$ векторного пространства $\mathbb{F}_q^n$ определена как степень полинома от $r$ переменных, представляющего данное ограничение. Для многообразий фиксированной размерности оценена вероятность появления у функции ограничений степени не выше заданной, а также получена асимптотика числа многообразий, на которых ограничения аффинны. Показано, что при $n \to \infty$ для почти всех функций $q$-значной логики от $n$ переменных значение максимальной размерности линейного многообразия, на котором ограничение аффинно, принадлежит отрезку $[\lfloor \log_q n+\log_q \log_q n \rfloor, \lceil \log_q n+\log_q \log_q n \rceil]$, в то время как аналогичный параметр для случая фиксации переменных находится в пределах $[\lfloor \log_q n \rfloor, \lceil \log_q n \rceil]$.