Об оценках распределения длины отрезка апериодичности в графе $k$-кратной итерации равновероятного случайного отображения

Работа посвящена исследованию случайной величины $\tau_{f^k}\left(x_0\right)$, равной длине отрезка апериодичности произвольной вершины $x_0\in S=\left\{1,\ldots,n\right\}$, $n\in \mathbb{N}$, в графе $k$-кратной итерации равновероятного случайного отображения $f:S\to S$. Отрезком апериодичности, начинающимся в вершине ${{x}_{0}}\in S$, называется отрезок выходящей из ${{x}_{0}}$ траектории от ${{x}_{0}}$ до её первого самопересечения. Исследовано поведение локальной вероятности $\mathsf{P}\left\{ \tau_{f^k}\left(x_0\right)=z \right\}$ как функционала от $z \in S$ при фиксированных значениях параметров $k,n\in \mathbb{N}$. Получена двусторонняя оценка $\mathsf{P}\left\{ \tau_{f^k}\left(x_0\right)=z \right\}$ для произвольных $k\in \mathbb{N}$, $x_0,z\in S$, таких, что $kz<n$. Для случаев простого $k$ и $k^2z\leq n$ получены эффективно вычислимые для используемых на практике значений $n$ ($2^{256}$ и более) двусторонние оценки $\mathsf{P}\left\{ \tau_{f^k}\left(x_0\right)=z \right\}$, выраженные в элементарных функциях. Для произвольных $k\in \mathbb{N}$, $x_0,z\in S$ выписаны двусторонние оценки для функции распределения $F_{\tau_{f^k}\left(x_0\right)}\left( z \right)$ в случаях $kz<{n}/{2}$ и $kz\leq \sqrt{n}$.