О числе однородных невырожденных $p$-ичных функций заданной степени

Пусть $p$ – простое число, $F=\mathrm{GF}(p)$, $V_n$ – $n$-мерное векторное пространство над $F$, $e$ – базис пространства $V_n$. Пусть также $\varphi\colon V_n\to F$. Функция $\varphi$ называется $e$-однородной, если $\varphi(x)=\pi_{\varphi,e}(\mathbf x)$ для всех $x\in V_n$, где $\pi_{\varphi,e}$ – однородный многочлен от $n$ переменных над $F$, имеющий степень не более $p-1$ по каждой переменной, а $\mathbf x$ – набор координат вектора $x$ в базисе $e$. Функция $\varphi$ называется невырожденной, если $\deg\varphi\ge1$ и $\deg\partial_v\varphi=(\deg\varphi)-1$ для любого $v\in V_n\setminus\{0\}$, где $(\partial_v\varphi)(x)=\varphi(x+v)-\varphi(x)$ для всех $v,x\in V_n$. Получена формула для числа $\mathrm{HN}_p(n,d)$ $e$-однородных невырожденных функций $\varphi\colon V_n\to F$, имеющих степень $d$ (это число не зависит от $e$), а именно: если $n\ge1$ и $d\in\{1,\dots,n(p-1)\}$, то $\mathrm{HN}_p(n,d)=\sum_{k=0}^n(-1)^kp^{\binom k2+\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n-k}d_p}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_p=\sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}(-1)^{|S|}p^{\sigma(S)-|S|+\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n-|S|}d_p}$, где $\genfrac{\{}{\}}{0pt}{0}md_p$ – обобщённый биномиальный коэффициент порядка $p$; $\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_p$ – биномиальный коэффициент Гаусса; $\sigma(S)$ – сумма всех элементов множества $S$. Доказано, что $\mathrm{HN}_p(n,d)\ge p^{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}nd_p}-1-(p^n-1)\left(p^{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n-1}d_p}-1\right)/(p-1)$ для любых $d\ge1$ и $n\ge d/(p-1)$. Используя эту оценку, получаем, что если $d\ge3$, то $\mathrm{HN}_p(n,d)\sim p^{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}nd_p}$ при $n\to\infty$.