Гомоморфная устойчивость конечных групп

Множество $\mathrm{Hom}(G,H)$ гомоморфизмов группы $G$ в группу $H$ является группой относительно поточечного умножения тогда и только тогда, когда образы любых двух таких гомоморфизмов поэлементно перестановочны. В таком случае группа $\mathrm{Hom}(G,H)$ коммутативна. Для конечных групп $G$ и $H$ изучаются алгебраические свойства группы $\mathrm{Hom}(G,H)$, а также объединения $\mathrm{Im}(G,H)$ образов всех таких гомоморфизмов. Пусть $\exp(G)$ – минимальное среди всех таких положительных целых чисел $n$, для которых $x^n=1$ для каждого элемента $x\in G$; $G'$ – коммутант группы $G$, $q=\exp(G/G')$ и $\Omega_q(H)$ – подгруппа в $H$, порождённая элементами периода $q$. Доказаны следующие утверждения:
– Если $\mathrm{Hom}(G,H)$ является группой, то $\Omega_q(H)$ коммутативна и группы $\mathrm{Hom}(G,H)$ и $\mathrm{Hom}(G/G',\Omega_q(H))$ изоморфны. Обратно, если $\Omega_q(H)$ коммутативна и ядро каждого гомоморфизма из $\mathrm{Hom}(G,H)$ содержит коммутант $G'$, то множество $\mathrm{Hom}(G,H)$ является группой относительно поточечного умножения.
– Если $\mathrm{Im}(G,H)$ – подгруппа в $H$, то $\mathrm{Im}(G,H)$ эндоморфно допустима.
– Если $G$ – такая конечная $p$-группа, что $q=\exp(G)=\exp(G/G')$, а $H$ – регулярная $p$-группа, то $\mathrm{Im}(G,H)=\Omega_q(H)$.