Ранги планарности многообразий коммутативных полугрупп

Изучается предложенное Л. М. Мартыновым понятие ранга планарности многообразий полугрупп. Пусть $V$ — произвольное многообразие полугрупп. Если существует такое натуральное число $r\geq 1$, что все $V$-свободные полугруппы ранга не больше $r$ допускают планарные графы Кэли, а $V$-свободная полугруппа ранга $r+1$ не допускает планарного графа Кэли, то рангом планарности многообразия $V$ называется это число $r$. Если для многообразия $V$ такого натурального числа не существует, то говорят, что многообразие $V$ имеет бесконечный ранг планарности. Доказано, что нетривиальное многообразие коммутативных полугрупп либо имеет бесконечный ранг планарности и при этом совпадает с многообразием полугрупп с нулевым умножением, либо имеет ранг планарности $1$, $2$ или $3$. Эти оценки рангов планарности многообразий коммутативных полугрупп достижимы.