О распределении числа единиц в двоичной мультициклической последовательности

Работа посвящена исследованию устойчивости теоретико-вероятностной модели, описывающей генератор Пола. Для этого изучено распределение случайной величины, равной числу единиц в выходной последовательности мультициклического генератора над полем $\mathrm{GF}(2)$ в случае, когда двоичные случайные величины, заполняющие регистры, независимы, а вероятности появления единиц в регистрах отличны от 1/2 и могут меняться с ростом длин регистров. Получены точные выражения математического ожидания и дисперсии для этой случайной величины. В случае когда число регистров фиксировано, получены условия, при которых распределение нормированного числа единиц сходится к распределению произведения независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону. Доказана нормальная предельная теорема для нормированного числа единиц в случае, когда число регистров стремится к бесконечности. Результаты показывают, что нарушение свойства равновероятности распределения знаков в регистрах приводит к существенным изменениям свойств указанных предельных распределений по сравнению с равновероятным случаем.